数学的に宝くじで期待値を上げるのはキャリーオーバーのみ

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宝くじはどこで買っても当たる確率は同じです

ジャンボ宝くじの発売される季節になると、テレビでは必ず人気の有名な宝くじ売り場から、購入者へのインタビューなどの中継があります。

科学の限界を超えたオカルト的要素がこの世にまったく存在しないとはいいませんが、数学的に考えると宝くじを買った場所による有利、不利は存在しません。

なぜなら宝くじの当せん番号は前もって決まっているものではなく、販売が終わった後に抽選で当せん番号が決定します。

なのでどこで買った宝くじにも平等に1等くじになる可能性があります。当たり本数が多い売り場というのは、ただ単に宝くじの売上枚数が多いというだけです。

そのあたりを数学的な確率論でまとめてみたいと思います。

宝くじに必勝法は存在しない

最初から夢のない話で申し訳ないですが、宝くじに必勝法はありません

この世のギャンブル全てに必勝法がないとは言いませんが、少なくとも宝くじに関しては当せん番号を自分で操作できない限り、必ず勝つということは不可能です。

誤解しないでほしいのですが、絶対に宝くじが当たらないと言っているわけではありません。

あたりまえですが、買った枚数に応じて当せんする確率が上がります。ただし多く枚数を買えば買うほど、その分損をする金額が大きくなる確率も上がります。

賭け事における期待値とは

まず賭け事を考えるうえで必須となる期待値という言葉について説明をしておきます。

期待値とは数学の確率論で用いられる言葉ですが、各事象の確率から予想される結果の平均値のことです。身近な例としてサイコロの振ったときの期待値を考えてみます。

前提条件

まず前提条件として6面体のサイコロの目が全て6分の1で出現するとします。そのサイコロを1回振った場合の期待値(出目の平均値)を求めてみます。

まず1から6の各目が出る確率は全て同じなので、

1が出る確率 6分の1、2が出る確率 6分の1、3が出る確率 6分の1、4が出る確率 6分の1、5が出る確率 6分の1、6が出る確率 6分の1。

期待される出目の平均値は以下のように計算します。

(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)

(1+2+3+4+5+6)÷ 6 =21÷6=3.5

サイコロを1回振った場合の期待値は、3.5という計算になります。

この期待値という考え方が、賭け事において必勝法を考える場合、非常に重要になります。

賭け事ではあらゆる手段を用いて期待値を高め、最終的に収支をプラスにすることが必勝法と呼ばれるものになります。

宝くじの期待値

宝くじの控除率(手数料の割合)は法律で定められており、宝くじの種類を問わず約55%になっています。

サイコロの場合よりも期待値の計算は簡単で、売上金に対して手数料などを引いた残りの45%の金額がそのまま期待値になります。

具体的にいうと宝くじを100円購入した場合、期待される当せん金は45円。55円は販売手数料や各種公共事業などの予算として使われます。

例えばジャンボ宝くじを10枚3000円分購入した場合、当せん金の期待値は3000×0.45=1350円となります。

平均的な運の持ち主だとすると、10枚3000円分の宝くじを買うとだいたい平均で1350円の払戻があり、1650円くらい負ける確率になるということです。

もし1350円以上の当せん金を得た場合は、その人は宝くじを購入した人たちなかで、比較的ラッキーな部類に入ると考えられます。

また100枚3万円分購入した場合だと期待値は13500円。平均的に16500円負ける可能性が最も高いと言うことができます。

ただし、くじの数が10倍になるので当せんする確率も単純に10倍になっています。

ジャンボ宝くじの1等の当せん確率は1000万分の1なので、10枚の場合は100万分の1、100枚の場合は10万分の1となります。

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宝くじには期待値を高める手段がない

他の賭け事ならば、各種データを駆使して期待値を上げる方法があるかもしれませんが、宝くじに関しては基本的にありません。

参加者の間で上手い下手という要素が全く存在しないので、ある意味では平等ともいえる賭け事です。ただし唯一キャリーオーバーがあると、期待値が普段より上昇します。

キャリーオーバーとは

ロト6やロト7といった宝くじ(宝くじ以外ではサッカーくじBIG)には、キャリーオーバーというルールがあります。

これらのくじは1等の当せん金額が変化するルールで、当せん者が出なかったり、当せん者が少なすぎて分配するお金が余ってしまったり(当せん金額の上限が定められているため)することがたまにあります。

この場合、その余ったお金を次回のくじの1等当せん金に繰り越す仕組みをキャリーオーバーといいます。

キャリーオーバーが発生した場合、本来の当せん金に使うお金(45%)にキャリーオーバーの額を加算して当せん金を支払うので、その分だけ期待値が上昇します。

みんなそれを知っているので、キャリーオーバーが発生しているときは宝くじの売り上げが増えます。具体的にどの程度期待値が上昇するかを、ざっくりとですが計算してみます。

ロト7がキャリーオーバーした場合

前提条件としてロト7の1等当せん確率は、1/10,295,472、理論上の当せん金額は約4億円となっています。

くじは1口300円なので、理屈では10,295,472×300=3088641600、約31億円分のくじを購入すると1等の約4億円を獲得できる計算となります。

(1等の4億円が購入金額の31億円の45%に届いていないのは、2等以下が当選した場合の期待値が含まれていないためです)

ロト7は自分で数字を選ぶので、実際にはありえないのですが、10,295,472通りのくじが一枚づつ重複なく売れたとして仮定して話をすすめます。

3088641600円(約31億円)売上に対し、当せん金に使われるお金は控除率55%を引いた45%なので、1389888720円(約14億円)

この14億円がキャリーオーバーを考える上での基準になります。

近寄って撮影した例

単純にロト7の1等金額は、売上31億(払い戻し金14億円)で4億円の設定。

なので前回から14億円のキャリーオーバーがあった場合、支払われる当せん金が通常時の2倍になり、期待値も2倍になっていることになります。

当然キャリーオーバー額が増えるほど期待値も上がるのですが、実際は1等の当せん金額の上限が8億円と定められており、期待値が購入金額に対し100%を超えることはありません。

また、あくまで当選者が一人だけの仮定での計算なので、1等が複数出た場合は当せん金が一気に下がるリスクがあります。

簡単にまとめると、ロト7は14億円以上のキャリーオーバーが発生している時に買えば、上限当せん金額8億の可能性が高くなってるよという話です。

キャリーオーバーの額が増えるほど期待値が上がります。ただしそれでも100%は超えません。

期待値を通常時と比較すると

ロト7を300円だけ1口買ったとして、1口だけ当選者が出たと仮定し期待値を計算してみます。

1等だけが2倍の当せん金が貰えるとして当せん金の総額が、単純に4億アップすると考えると、

当せん金に支払われる金額は1389888720円(約14億円)+4億 =1789888720円

1789888720(総支払当せん金)÷3088641600(売上)=0.57950677087

この条件だと期待値は14億円キャリーオーバーしていれば、全体の期待値は約45%から約58%まで上昇している計算になります。

ただし期待値はあくまで100%を超えないので必勝法ではありません。購入し続けると必ず損が増えていきます。

宝くじの楽しみ方

確率論から考えると宝くじには必勝法はないのですが、購入さえすれば平等に1等が当たる可能性があるのは事実です。

宝くじは「当たったら何に使う」という想像を楽しむためのものです。

その購入金額は、その結果が出るまでのワクワク感と当せんの可能性を得るため、あとは社会貢献のお金と考えてください。

くれぐれも「必ず儲かる」といった類の必勝法詐欺には気を付けてください。

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